3．1 趨勢(shì)模型

首先是趨勢(shì)模型 g（t）。

在 Prophet 算法里，趨勢(shì)模型有兩個(gè)選擇，一個(gè)是基于飽和增長(zhǎng)模型 （saturating growth model），另一個(gè)是基于分段線性函數(shù) （piecewise linear model）。

3．1．1 飽和增長(zhǎng)模型

Prophet 使用如下形式的飽和增長(zhǎng)模型：

其中，C 為承載能力（如可上網(wǎng)人數(shù)、可處理事件等），k 為增長(zhǎng)率，m 為偏移參數(shù)。

當(dāng) C＝1，k＝1，m＝0 時(shí)就是大家常見(jiàn)的 Sigmoid 函數(shù)的形式。

在現(xiàn)實(shí)生活中，承載能力、增長(zhǎng)率和偏移參數(shù)并不是一成不變的，所以作者將其轉(zhuǎn)換為隨時(shí)間變化的函數(shù)：

除此之外，現(xiàn)實(shí)中的時(shí)間序列其走勢(shì)也不是不變的，在某些特定的時(shí)候會(huì)發(fā)生改變，這就需要用戶去研究變點(diǎn)檢測(cè) （change points）。

在 Prophet 中，變點(diǎn)的位置是需要設(shè)置的，每一段的趨勢(shì)和走勢(shì)也會(huì)隨著變點(diǎn)的設(shè)置而改變。目前有兩種方法去設(shè)置變點(diǎn)，一種是人工指定的方式，另一種是通過(guò)算法來(lái)自動(dòng)選擇。

假設(shè)現(xiàn)在有 S 個(gè)變點(diǎn)，變點(diǎn)的時(shí)間戳為

，

，

每個(gè)變點(diǎn)都會(huì)出現(xiàn)增長(zhǎng)率的變化  。如果初始增長(zhǎng)率為 k 的話，那么時(shí)間戳 t 上的增長(zhǎng)率為：

其中

為指示函數(shù)：

一旦初始增長(zhǎng)率 k 確定，那么偏移參數(shù) m 也會(huì)隨之確定。

既然是分段函數(shù)，我們也需要處理好分段邊界：

所以分段邏輯回歸模型為：

此外我們含有一個(gè)重要參數(shù) C（t），該參數(shù)需要用戶根據(jù)市場(chǎng)規(guī)模來(lái)進(jìn)行調(diào)整。

3．1．2 分段線性模型我們?cè)賮?lái)看一下分段線性函數(shù)，根據(jù)

給出基本模型：

其中 k 表示增長(zhǎng)率，

表示增長(zhǎng)率的變化量，m 為偏移參數(shù)，

值得注意的是，分段線性函數(shù)并沒(méi)有表示承載能力的

參數(shù)。

3．1．3 序列中的變點(diǎn)變點(diǎn)可以由分析師人工設(shè)定，相應(yīng)的參數(shù)有變點(diǎn)的位置、個(gè)數(shù)、增長(zhǎng)的變化率。

當(dāng)然，也可以根據(jù)候選對(duì)象進(jìn)行自動(dòng)選擇。自動(dòng)選擇主要是利用了先驗(yàn)知識(shí)

，參數(shù)

控制模型變換的靈活性，當(dāng)

趨于 0 時(shí)，增長(zhǎng)函數(shù)將蛻變?yōu)?Logistic 函數(shù)或者線性函數(shù)。默認(rèn)情況下，Prophet 會(huì)在時(shí)間序列前 80％ 的范圍里，通過(guò)等份的方法找到 25 個(gè)變點(diǎn)，而變點(diǎn)的增長(zhǎng)率滿足 Laplace 分布

3．1．4 趨勢(shì)預(yù)測(cè)現(xiàn)在，歷史 T 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)中有 S 個(gè)變點(diǎn)，且對(duì)應(yīng)的增長(zhǎng)率的變化量服從

，但預(yù)測(cè)未來(lái)也需要考慮未來(lái)的變點(diǎn)位置。

作者通過(guò)歷史數(shù)據(jù)推斷出方差，從而替換

來(lái)模擬未來(lái)的速率變化。在一個(gè)完全貝葉斯框架下，可以通過(guò)先驗(yàn)知識(shí)來(lái)獲得它的后驗(yàn)概率，或者我們也可以用最大似然估計(jì)來(lái)評(píng)估速率尺度參數(shù)：

。

未來(lái)變點(diǎn)位置將通過(guò)隨機(jī)抽樣的方法使變點(diǎn)的平均頻率與歷史數(shù)據(jù)相匹配：

因此，我們保證了未來(lái)和歷史具有相同平均頻率和變點(diǎn)變化率，從而衡量預(yù)測(cè)未來(lái)趨勢(shì)中的不確定性，一旦從數(shù)據(jù)中推斷出了 λ ，我們便可以使用生成模型來(lái)模擬未來(lái)可能的趨勢(shì)，并使用模擬的趨勢(shì)來(lái)計(jì)算不確定區(qū)間。

3．2 季節(jié)性模型

季節(jié)性（這里指周期性）是大部分時(shí)間序列都會(huì)考慮其中的，因?yàn)闀r(shí)間序列通常會(huì)隨著天、周、月、年等的變化而呈現(xiàn)周期性變化。為了擬合和預(yù)測(cè)這些數(shù)據(jù)，作者制定了季節(jié)模型。

作者利用傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)提供一個(gè)靈活的周期性影響：

其中，P 為周期（一年 P＝365．25，一個(gè)星期 P＝7）；N 為經(jīng)驗(yàn)所得（年 N＝10，周N＝3）。

我們另傅立葉級(jí)數(shù)的參數(shù)為

，則可以用這個(gè)來(lái)構(gòu)造一個(gè)季節(jié)性向量矩陣。

例如當(dāng) N＝10 時(shí)：

季節(jié)項(xiàng)表示為：

作者用標(biāo)準(zhǔn)化

對(duì)參數(shù)

進(jìn)行初始化， σ 為可設(shè)置參數(shù)，值越大，季節(jié)效應(yīng)越明顯；值越小，季節(jié)效應(yīng)越不明顯。